2. Объекты математического моделирования в металлургии
3. Классификация моделей
4. Классификация математических моделей
5. металлургическая отрасль
1. Введение
Моделирование представляет собой метод исследования свойств металлургической отрасли одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для исследования и находящегося в определенном соответствии с первым объектом. То есть при моделировании экспериментируют не с самим объектом, а с его заменителем, который называют моделью.
Методы моделирования применяются практически во всех областях деятельности человека, при решении научно-технических задач, для изучения социальных, экономических, медицинских, военных или экологических проблем. В любой сфере деятельности человека моделирование находит свое применение.
Моделями человек начал пользоваться с незапамятных времен. Исторически первыми моделями как заместителями некоторых объектов были, видимо, символические условные модели. Это языковые знаки, которые в ходе развития составили разговорный язык. Применение символических условных моделей другого типа связано, вероятно, с возникновением обмена: сначала предметы раскладывались в два ряда, друг напротив друга, чем и добивались однозначного соответствия, потом было установлено, что соответствия объектов одного рода объектам второго рода можно добиться, сравнивая их с объектами третьего рода, сначала с естественными объектами - пальцы рук и ног, затем с искусственными -специально изготовленными палочками. Эти первые логические условные модели постепенно привели к формированию понятию числа.
Следующий этап развития логического моделирования - возникновение знаковых числовых обозначений вметаллургической отрасли.
В глубокой древности возник и получил развитие метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называется умозаключением по аналогии.
Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связано с возникновением письменности и математической символики, а это относится примерно к 2000 г. до н. э., времени расцвета цивилизаций Египта и Вавилона. Некоторые данные позволяют полагать, что вавилоняне уже пользовались таким важным для моделирования понятием, как подобие в форме элементарного геометрического подобия прямоугольных треугольников.
Развитие моделирование получает в Древней Греции в V - III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы, греческий врач Гиппократ для изучения глаза человека пользовался глазом быка, его физической аналогичной моделью, математик Евклид построил учение о геометрическом подобии.
Более 400-т лет назад, в середине XV в. обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи. Он пользуется аналогиями: сравнение полета птицы и плавания под водой. Им ставится актуальный до сих пор вопрос о соответствии практики и теории, о необходимости проверки и обобщения результатов опыта и его роли в познании.
Вопросы подобия в связи с созданием различных конструкций и их моделированием часто возникают в XVI - XVII вв в металлургической отрасли . О том, что подобию стали уделять много внимания в XVII в. пишет Г. Галилей в своем сочинении "Разговоры о двух новых науках". Например, при постройке в Венеции галеры с увеличенными размерами подпорки с сечениями, выбранными исходя из геометрического подобия, оказались недостаточно прочными, и размеры их пришлось корректировать на основе физических соотношений. Галилей констатировал, что "прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел".
Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в. И. Ньютоном в работе "Математические начала натуральной философии". В работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы их подобия. Основы современного учения о подобии заложили, сформулированные И. Ньютоном, прямая теорема подобия и основные положения подобия, указав свойства подобных механических систем и критерии, характеризующие движения систем, подобие которых обеспечено. И. Ньютон открыл пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических положений. Им построена наглядная механическая модель для объяснения световых явлений (корпускулярная теория света), математическая модель для объяснения явления тяготения и мн. др.
Работы И. Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не получали развития, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах проводились многочисленные опыты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода.
Одним из первых теоретически обоснованно применил статическое подобие И.П. Кулибин при разработке проекта арочного моста, пролетом 300 м. Исследования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины. В них было впервые учтено, что увеличение линейных размеров в k раз меняет собственный вес в k3 раз, а площади поперечных сечений элементов - в k2 раз. И.П. Кулибин установил, что обеспечение подобия влияния собственного веса в модели возможно при некоторой дополнительной нагрузке. Предложенный метод моделирования собственного веса конструкции соответствует современному способу "догрузки" моделей в центрифугах.
В 1822 г. появились работа Ж. Фурье "Аналитическая теория теплопроводности", в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность, это свойство получило название правила Фурье или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Ж.Л.Ф. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подобия. Вскоре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к различным механическим явлениям. Например, законы звуковых явлений в геометрически подобных телах из уравнения движения упругих тел; условия подобия гидродинамических явлений. Появились работы в области строительной механики, в области упругости.
Однако, практическое применение теории подобия и моделирования, зачастую встречало серьезные препятствия, трагическим примером чему служит история с английским броненосцем "Кэптен". Этот корабль построили в 1870 году. В то же время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию моделирования кораблей, исследование модели броненосца показало, что он должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не придали значения опытам ученых с "игрушечной" моделью, в результате при выходе в море "Кэптен" перевернулся, и 523 моряка погибли.
Примером удачного применения методов моделирования является их применение Д.И. Журавским при сооружении железнодорожных мостов. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы и все раскосы, и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподобными и были проверены на модели из металлической проволоки. На этой модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам, по высоте тона получаемого звука определить степень натяжения проволок, т.е. элементов крепления моста.
Развитие учения о подобии долгое время шло путем определения частных условий подобия для явлений только определенной физической природы. Наконец, в 1909 - 1914 гг. В результате работ Н.Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована в первой редакции теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия, становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригинала при физическом моделировании в металлургической отрасли .
Параллельно с развитием физического моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме. История развития знакового моделирования - это, прежде всего история развитие математики. В конце XVI в. Д. Непер изобрел логарифмы, В XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими методами получают развитие численные методы решения различных задач. Все это привело к распространению учения о подобии на величины и процессы различной физической природы, но имеющие определенную аналогию или хотя бы какое-то математическое соответствие. При этом стали различать подобие математическое и аналоговое. Постепенно моделирование стало охватывать все большие области научной и технической деятельности человека. Например, для отработки антисейсмичности конструкций зданий модели иногда имели довольно внушительные размеры площадью до 20 м2 и массой до 30 т. Гидроэнергетические объекты, такие как плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская, Братская, Асуанская ГЭС, исследовались на физических моделях, изображающих в уменьшенном масштабе эти сооружения.
Широко распространены специальные модели, сочетающие в себе физическую и математическую модели с натурными приборами. Эти модели применяются для наладки приборов управления и тренировки персонала, в первом случае такие модели стали называться испытательными стендами, во втором - тренажерами.
Физическое моделирование основано на изучении явлений на моделях одной физической природы с оригиналом. При физическом моделировании сохраняют особенности поведения объекта исследования, что существенно облегчает получение требуемых результатов, так как для модели выбирают наиболее удобные геометрические размеры и диапазоны изменения физических величин.
Метод физического моделирования имеет очень большое значение, когда в комплекс явлений, характеризующих исследуемый процесс, входят такие явления, которые не поддаются математическому описанию. Одним из примеров физического моделирования является исследование переходных процессов в энергетических системах на моделях этих систем, где мощные генераторы и трансформаторы заменены малогабаритными электрическими машинами и трансформаторами, а дальние линии электропередачи - соответствующими эквивалентами. Однако во многих случаях использование метода физического моделирования приводит к необходимости изготовления дорогостоящих моделей, пригодных для решения ограниченного круга задач.
Математическое моделирование основано на идентичности дифференциальных уравнений, описывающих явление в оригинале и модели, отличающихся по своей природе. Главное преимущество математического моделирования перед физическим заключается в возможности исследования явлений природы, трудно поддающихся изучению, используя хорошо изученные явления. При математическом моделировании более наглядно, чем при физическом, осуществляется индикация и регистрация результатов исследований: можно просто варьировать в широких пределах исходные данные задачи для выбора оптимальных (по заданному критерию) параметров исследуемой системы. Время решения задачи, по желанию исследователя, может быть изменено в широких пределах.
История математического моделирования в металлургии имеет богатые традиции в России. Назовем несколько имен российских ученых из области новейшей истории металлургии.
Выпускник Петербургского горного института В.Е. Грум-Гржимайло родился в 1864 году, профессор, член-корреспондент АН СССР, преподавал в вузах Петербурга, Екатеринбурга, работал на заводах Урала, основал кафедру "Металлургии стали и теории печей" в Уральском университете. Им разработана статическая теория газов в печах, заложены основы динамической теории печных газов. Под его руководством построено около 800 печей, разработанный им атлас печей на всемирном конгрессе во Франции в 1926 году получил всемирное признание.
Становление металлургической теплотехники как науки связано с именем профессора М.А. Глинкова (род. в Пермской губернии в 1906 г.). Работал на Урале, возглавлял кафедры в Свердловске, позднее в московском институте стали и сплавов. По его учебнику "Основы общей теории тепловой работы печей" подготовлено несколько поколений инженеров. М.А. Глинков уделял значительное внимание теплофизике, автоматизации и экологии промышленных печей, созданию сталеплавильных агрегатов непрерывного действия.
Дальнейшие достижения металлургов-теплофи-зиков связаны с именем Б.И. Китаева (1908 - 1983 г.г.). Б.И. Китаев родился в С.-Петербурге, получил образование в Свердловске, работал начальником мартеновского цеха в г. Чермоз Пермской области, позднее возглавлял кафедру "Металлургических печей" в Уральском политехническом институте. Им разработаны основы теории слоевых металлургичес-ких процессов, теплообмена в доменных печах, его учебники переведены за рубежом. Б.И. Китаев был экспертом Юнеско по вопросам металлургии.
С именем профессора Ю.А. Самойловича (род. в 1933 г.) связаны первые систематические вычисли-тельные эксперименты на компьютере по моделированию теплофизики кристаллизующихся слитков на основе математических моделей. Он исследовал закономерности электромагнитного воздействия на кристаллизующиеся слитки для управления структурой формирующегося металла. В возглавляемой им лаборатории во Всесоюзном институте металлургической теплотехники (г. Свердловск) на основе математического моделирования решены многие практические проблемы металлургии.
Примером эффективного применения резуль-татов математического моделирования в разработке металлургических агрегатов является деятельность главного конструктора Уралмаша доктора технических наук В.М. Нисковских (род. в 1925 г.). Им впервые показана возможность активного деформирования стального слитка в двухфазном состоянии. Под его руководством разработана высокопроизводительная машина непрерывного литья заготовок криволинейного типа, которая победила в остром конкурентном соперничестве и была закуплена ведущими металлургическими странами (Японией, Австрией, Канадой, США и др.)
1. Объекты математического моделирования в металлургической отрасли
Для металлургии как отрасли хозяйствования характерны две особенности. Во-первых, масштабы производства металлов и сплавов вывели металлургию по потреблению энергетических ресурсов на одно из первых мест среди других отраслей. Во-вторых, технологические процессы в металлургии, связанные с переработкой сырья и получению конечных продуктов, протекают при повышенных температурах. Инженеру металлургу приходится решать широкий спектр задач от подготовки шихты, выплавки металла, получения качественной готовой продукции до решения экологических проблем снижения уровня теплового и химического загрязнения окружающей среды.
Математическое моделирование в металлургии позволяет ускоренно находить оптимальные решения при планировании производства и управления им. Применение автоматизированных систем управления технологическим процессом (АСУ ТП), основанных на применении адекватных математических моделей, приводит к росту производительности труда, повышению качества продукции, снижению ее себестоимости, повышению культуры производства.
Характеристики объекта управления
U - вектор контролируемых управляющих входов (расходы сырых материалов, энергии, топлива и т.д.);
V - вектор контролируемых возмущений (качественные показатели сырья, параметры состояния оборудования, простои и т.д.);
Z - вектор неконтролируемых возмущений (параметры внешней по отношению к АСУ ТП среды);
Y - вектор выходов объекта [показатели состояния технологического процесса (температура, давление, состав вещества), качественные и количественные показатели промежуточных (литейная форма) или конечных (отливка) продуктов, технико-экономические показатели производства];
Математическая модель технологического объекта управления (ТОУ) представляет собой зависимость
Y = f (U, V, Z, t) (1)
при известном виде функции f , которая в общем случае может зависеть от времени t (в динамических моделях), и существующих ограничениях на переменные
Стохастическая математическая модель строится в условиях неполноты знаний о ТОУ или его стадиях, в ней связи между входами и выходами ТОУ имеют вероятностный характер.
Детерминированная математическая модель представляет совокупность алгебраических или дифференциальных уравнений, характеризующих причинно-следственные связи между входами и выходами ТОУ на основании известных законов сохранения массы, энергии, химических превращений и др.
В комбинированных математических моделях сочетаются признаки стохастического и детерминированного моделирования, например, процесс кристаллизации отливки описывается детерминированной моделью, а входящие в эту модель коэффициенты определяются стохастическими методами.
Математическая модель оптимального управления технологическим процессом литейного производства включает целевую функцию. В основе целевой функции могут быть различные технико-экономические критерии, например, минимальное время регулирования, ограничения на температурные градиенты в отливке, вызывающие ее растрескивание в процессе кристаллизации, минимальная себестоимость получения отливки и др.
Задача оптимального управления производством отливок в целом подразделяется на ряд подзадач:
" шихтовки;
" плавки;
" смесеприготовления;
" формовки;
" разливки;
" охрана окружающей среды.
Шихтовка
При формировании и загрузке плавильной шихты возникают две задачи:
1) расчет оптимального состава шихты, обеспечивающего требуемые пределы содержания в ней отдельных химических элементов с учетом их угара и минимальную стоимость при имеющихся ресурсах;
2) автоматическое управление механизмами дозирования компонентов шихты и подачи их в плавильные печи.
Принцип действия дозатора основан на изменении грузоподъемности электромагнита в зависимости от намагничивающего тока. Дозатор состоит из подъемного электромагнита (ПЭ), датчика массы (ДМ), измерительного прибора (ИП), цифрового устройства (ЦУ) и коммутатора (К). Электромагнит питается от генератора постоянного тока (Г), управляемого оператором с помощью регулятора тока (РТ).
Плавка
Плавление металла осуществляется в печах различного типа: вагранках, дуговых, индукционных печах.
Вагранки являются агрегатами непрерывного действия и применяются для плавки чугуна. Дуговые и индукционные печи являются агрегатами периодического действия.
Дуговые печи имеют высокую электрическую мощность и включают держатели электродов 1, электроды 2, ванну с жидким металлом 4. Источником тепла является дуга 3 между электродами и ванной с расплавом.
Использование математических моделей электрических, тепловых и технологических процессов позволяет прогнозировать ход плавки и вырабатывать оптимальные управляющие воздействия.
Смесеприготовление
Материал литейной оснастки: формы, стержни и др. является многокомпонентным, от точности рецептуры смесей зависит качество продукции. Целевая функция АСУ ТП смесеприготовления представляется как поддержание рецептуры смесей и режимов их получения, обеспечивающих минимальные затраты на производство заданного вида и количества отливок при известной технологии литья. Математическая модель может описывать характер влияния состава смеси на
качество отливок. Поддержание оптимальной рецептуры смесей снижает брак литья на 2…3%, а при отклонении от оптимума он линейно зависит от квадрата этого отклонения.
Формовка
Смеси для изготовления литейных форм подлежат специальному уплотнению, обеспечивающему поверхностную твердость, газонепроницаемость. При уплотнении прессованием и встряхиванием степень уплотнения существенно зависит от давления сжатого воздуха в пневмоприводе встряхивающей машины, частоты встряхиваний, условий сушки форм и стержней и т.д.
Математические модели позволяют прогнозировать оптимальные условия формовки, время прохождения формы через сушильную камеру и т.д.
Разливка
Одним из важнейших этапов является получение качественного слитка. Именно при затвердевании происходит формирование кристаллической структуры слитка, возникновение в нем физической и химической неоднородности и других дефектов, переходящих в готовые изделия. Проблемами разливки в литейные формы являются дозирование расплава и регулирование скорости его подачи. Стабилизация химического состава расплава, его чистота, простота дозирования достигаются при магнитодинамическом (МГД) способе (МГД-насосы, МГД-дозаторы).
С тиглем 1 сообщаются каналы 2, 3, 6, причем каналы 2, 6 охвачены индукторами, каждый из которых представляет замкнутый магнитопровод 7 с обмоткой питания, 4, 5 - активная часть МГД-дозатора. Суммарное действие электромагнитных сил вызывает движение расплава через выходной металлопровод 9 к приемнику.
По сравнению с разливкой в изложницы значительно повысить производительность и выход годной продукции позволяет переход к непрерывному литью металлов. Технология производства слитков на машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) состоит в том (рис. 7), что расплав из промежуточного ковша подается в верхнюю часть кристаллизатора, где при интенсивном первичном охлаждении затвердевают лишь поверхностные слои металла, поэтому вытягиваемый слиток имеет под кристаллизатором не затвердевшую часть (жидкое ядро) и высокую температуру поверхности. Сформировавшаяся твердая корка слитка, способная выдержать ферростатическое давление столба жидкой стали высотой 1…1,5 м, имеет толщину на выходе из кристаллизатора 2…4 см. Затвердевающий слиток непрерывно извлекается из кристаллизатора при помощи тянущих роликов и поступает в протяженную зону вторичного охлаждения, где формирование слитка заканчивается. Отвод тепла на этом этапе осуществляют подачей через форсунки воды или водовоздушной смеси на поверхность слитка и элементов оборудования. После завершения кристаллизации по всему сечению слитка он разрезается на мерные заготовки, поступающие в дальнейший передел. Для слитков прямоугольного поперечного сечения (слябов) 240х1800 мм глубина жидкого ядра достигает 15…20 м при скорости вытягивания 0,8…1 м/мин.
Стремление к увеличению производительности и уменьшению высоты машин привело к созданию МНЛЗ криволинейного типа (рис. 8). Особенностью этой технологии является разгиб слитка в двухфазном состоянии при помощи правильных валков, после чего слиток перемещается в горизонтальной плоскости, разрезается на мерные заготовки и поступает в дальнейший передел.